- ಅಭಿಷೇಕ್ ಎಂ. ಎನ್.
ಲೇಖನದ ಪರಿಚಯ: ಹಿಂದಿನ ಭಾಗದ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಗೋಲ್ಡ್ ಬಾಕನ ಊಹೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಂಡೆವು. ಈ ಭಾಗದ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಲೇಖಕರು ಗಣಿತದ ಇನ್ನೊಂದು ಉತ್ತರವಿರದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾದ ಕೊಲಾಟ್ಜನ ಊಹೆಯ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಕೊಲಾಟ್ಜನ ಊಹೆಯು ಗೋಲ್ಡ್ ಬಾಕನ ಊಹೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೊಸತಾದದ್ದೆ.
ಕೊಲಾಟ್ಜ್ ನ ಬಲೆ (Collatz’s Web)
Conjecture of Collatz
ಕೊಲಾಟ್ಜನ ಈ ಊಹೆಯು 84 ವರ್ಷದಿಂದ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆ ದೊರೆಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ. ಈ ಗಣಿತದ ಊಹೆಯನ್ನು ಲೊಥರ್ ಕೊಲಾಟ್ಜನು 1937ರಲ್ಲಿ ಜನರಿಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಿದನು. ಐದನೇ ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೂ ಕೂಡ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಸಮಸ್ಯೆ ಇದು. ಆದರೆ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ದಶಕಗಳಿಂದ ಬಗೆಹರಿಸಲು ಆಗದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ.
ಈ ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರವು ಹವಳದ ಕಡಲಕಳೆ ಅಥವಾ ಹೊಚ್ಚ ಹೊಸ ಜಾತಿಯ ಯಾವುದೇ ಅಲಂಕಾರಿಕ ಕುಂಚ ಅಥವಾ ನರಮಂಡಲದ ರೀತಿ ಇದೆ ಎಂದು ಯೋಚಿಸಿದ್ದರೆ ಅದು ತಪ್ಪು. ನಾನು ಕೂಡ ಈ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ನೋಡಿದೊಡನೆ, ನನಗೂ ಇದೇ ಯೋಚನೆ ಬಂದಿತ್ತು. ಆದರೆ ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕೊಲಾಟ್ಜನ ಊಹೆಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಸುಂದರ ನಿರೂಪಣೆಯಾಗಿದೆ. ಕೊಲಾಟ್ಜನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಥ್ವೈಟ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆ, ಕಾಕುಟಾನೀಯ ಸಮಸ್ಯೆ, ಉಲಮ್ ಸಮಸ್ಯೆ, ಹ್ಯಾಸ್ಸೆಸ್ ಅಲ್ಗಾರಿತಮ್, ಸಿರಾಕ್ಯೂಸ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ 3n+1 ಊಹೆ ಎಂಬ ಬಹು ಹೆಸರುಗಳಿಂದ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಏನಿದು ಕೊಲ್ಯಾಟ್ಸ್ ನ ಸಮಸ್ಯೆ ಹಾಗಿದ್ದರೆ?
ಕೊಲ್ಯಾಟ್ಜ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಮೊದಲಿಗೆ ಕೆಳಗಿನ Algorithm ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:
1) ನಿಮ್ಮ ಆಯ್ಕೆಯ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ (positive integer) \(n\) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.
2) ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನೀವು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸಂಖ್ಯೆ \(n\) ಸಮ ಅಥವಾ ಬೇಸವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.
3) ನೀವು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸಂಖ್ಯೆ \(n\) ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಎರಡರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ( \(n/2\) ಮಾಡಿ).
4) ನೀವು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸಂಖ್ಯೆ \(n\) ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಮೂರರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಒಂದನ್ನು ಸೇರಿಸಿ (\(3 n+1\) ಮಾಡಿ).
5) ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲು 3ಮತ್ತು 4ನೇ ಹಂತ ಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.
ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸಂಖ್ಯೆ \(n=10\). ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೇಲಿನ 3 ಮತ್ತು 4ನೇ ಹಂತಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತಾ ಹೋದರೆ, ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿ (Sequence) ಉದ್ಭವವಾಗುತ್ತದೆ. ಆ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಗುರುತಿಸೋಣ \(10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1\). ಈಗ ಇದನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸುವುದಾದರೆ, ಶ್ರೇಣಿ ಹೀಗಾಗಬಹುದು: \(10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1 -> 4 -> 2 -> 1 -> 4 -> 2 -> 1...\) (\(4->2->1\) ಅನಂತವಾಗಿ ಮುಂದುವರೆಯುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ). ಈ ಮೇಲಿನ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಆಲಿಕಲ್ಲು ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಈ ಅನುಕ್ರಮವು \(4-2-1\)ಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ. 1ಕ್ಕೆ ಬಂದ ನಂತರ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು? 4. ಮತ್ತೆ \(4 -> 2 -> 1\). ಹೀಗೆ ಈ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸುತ್ತುವರೆಯುತ್ತಲೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಅಂದರೆ ನಾವು \(4-2-1\) ರ ಲೂಪ್ ನಲ್ಲಿ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಂಡೆವು ಎಂದು.
ಸವಾಲು: \(n=27\)ಕ್ಕೆ ಕೊಲಾಟ್ಜ್ ನ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಕಮೆಂಟ್ ಬಾಕ್ಸ್ ನಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ ತಿಳಿಸಿ.
ಸರಿ, ಇದೆಲ್ಲವೂ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಐದನೇ ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಕೂಡ ಇಲ್ಲಿ ಏನಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಆದರೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಇನ್ನೂ ಸಾಬೀತು ಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಂತಹ ಗೊಂದಲವೇನಿದೆ?
ಕೊಲಾಟ್ಜನ ಊಹೆ ಹೀಗಿದೆ:
ನೀವು ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ (Positive Integer) \(n\) ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುತ್ತಾ ಹೋದಂತೆ, ಕೊನೆಗೆ \(4-2-1\) ಲೂಪ್ ನಲ್ಲಿ ಸಿಕ್ಕಿ ಹಾಕಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ಕೊಲ್ಯಾಟ್ಜ್ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತಾನೆ. ಇಲ್ಲಿ ಊಹೆಯೆಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ \(n\) ಅಂತಿಮವಾಗಿ \(4-2-1\)ಲೂಪ್ ಗೆ ಕುಸಿಯುತ್ತದೆಯೇ? ಇದನ್ನು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಮಗೆ ಇನ್ನೂ ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ.
ಅಂದು ಕೊಲಾಟ್ಜ್ ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಈ ಊಹೆಯು ಇಂದಿಗೂ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ತಲೆಕೆಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಂತಾಗಿದೆ. ಜಗತ್ತು ಕಂಡ ಅದ್ಭುತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಪೌಲ್ ಏರ್ಡಿಷ್ ಇದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಹೋಗಿ "ಗಣಿತವು ಇಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಿದ್ಧವಾಗಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು" ಎಂದು ಹೇಳಿದರು. ಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ ಇದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದವರಿಗೆ US$500 ಕೊಡುತ್ತೇನೆ ಎಂಬ ಸವಾಲನ್ನು ಒಡ್ಡಿದರು. ಇದೇ ರೀತಿ 2010ರಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆಯ ಹುಡುಕಾಟದಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿದ್ದ ಜೆಫ್ರಿ ಲಗಾರಿಯಾಸ್ ಎಂಬ ಗಣಿತ ವಿಜ್ಞಾನಿಯೂ "ಅಸಾಧಾರಣವಾದ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದೂ ಒಂದು. ಇಂದಿನ ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ದೂರವಿದೆ" ಎಂದು ಹೇಳಿದರು.
ಮೋಜಿನ ಚಟುವಟಿಕೆ: ನಾವು ಒಂದು ಮೋಜಿನ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (Natural number) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಅದರಿಂದ ಕೊಲಾಟ್ಜನ ಬಲೆಯನ್ನು ಆರಂಭಿಸಿ. ಅದು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಒಂದನ್ನು ಯಾವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆಯೇ ಆ ಹಂತವನ್ನ ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿರಿಸಿ. ಅದಕ್ಕೆ \(d(n)\) ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಹೀಗೆ ಕೆಲವು ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕೊಲಾಟ್ಜನ ಬಲೆಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಎಷ್ಟು ಹಂತದ ತರುವಾಯ 1 ದೊರೆಯುತ್ತದೆಯೆಂದು ಹೊಂದಿಸುತ್ತಾ ಹೋಗಿ. ಏನಾದರೂ ವಿನ್ಯಾಸ ಸಿಗುತ್ತದೆಯೇ ನೋಡಿ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ: \(d(10) = 6.\)
2019ರಲ್ಲಿ ವಿಶ್ವದ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರಾದ ಟೆರೆನ್ಸ್ ಟಾವೊ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಿದರು. ಆದರೂ ಸಮಸ್ಯೆಯೂ ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಗೆಹರಿದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತಾವೇ ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ.
Supporting words:
1. ಪೂರ್ಣಾಂಕ: Integer
2. ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ – Positive Integer
3. ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ – Natural Number
4. ಶ್ರೇಣಿ – Sequence
5. ಅನುಕ್ರಮ – One followed by the other in order
6. ಸಾಧನೆ – Proof
ಲೇಖಕರ ಪರಿಚಯ
ಅಭಿಷೇಕ್ ಎಂ. ಎನ್. ಪ್ರಸ್ತುತ ಶಾರದಾ ವಿಲಾಸ ಕಾಲೇಜಿನಲ್ಲಿ 4ನೇ ಸೆಮೆಸ್ಟರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಸಾಂಗ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಅಭಿಷೇಕ್ ಅವರಿಗೆ ಮುಂದೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಉಪನ್ಯಾಸಕರಾಗಬೇಕೆಂಬ ಇಚ್ಛೆ ಇದೆ. ಕೇವಲ ಗಣಿತವಲ್ಲದೆ ಇವರಿಗೆ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲೂ ಅಭಿರುಚಿಯಿದ್ದು ಚರ್ಚಾ ಸ್ಪರ್ಧೆ, ಪ್ರಬಂಧ ಸ್ಪರ್ಧೆ ಹೀಗೆ ಸುಮಾರು ಸ್ಪರ್ಧೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುತ್ತಿರುತ್ತಾರೆ.
ನಮ್ಮ ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾದರೂ ತಪ್ಪು ಅಥವಾ ದೋಷ ಕಂಡುಬಂದಲ್ಲಿ dep.math.svc@gmail.com ಗೆ ತಿಳಿಸಿ (If you find any mistakes or errors, please send the same to dep.math.svc@gmail.com)
No comments:
Post a Comment