ಇನ್ನೂ ಉತ್ತರ ಸಿಗದ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು (ಭಾಗ – 1 )

- ಅಭಿಷೇಕ್ ಎಂ. ಎನ್.

ಲೇಖನದ ಪರಿಚಯ: ಈ ಭಾಗದ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಹತ್ತಿರತ್ತಿರ ಸುಮಾರು ಮುನ್ನೂರು ವರುಷಗಳಾದರೂ ಇನ್ನೂ ಸಾಧಿಸಲು (Proving) ಸಾಧ್ಯವಾಗದ, ನೋಡಲಿಕ್ಕೆ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳ ಸಮಸ್ಯೆಯಂತೆ ಕಾಣುವ ಗೋಲ್ಡ್ ಬಾಕನ ಊಹೆಯ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಾಗೆಯೇ ಈ ಊಹೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಅಷ್ಟಾಗಿ ಪ್ರಚಲಿತದಲ್ಲಿರದ ಕೆಲವೊಂದು ಹೊಸದೆನಿಸುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

---

ಗಣಿತ - ಹೆಸರು ಕೇಳಿದಾಕ್ಷಣ ಹಲವಾರು ಭಾವನೆಗಳು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತವೆ. ಕೆಲವರಿಗೆ ಗಣಿತ ಅಚ್ಚುಮೆಚ್ಚಿನ ವಿಷಯವಾದರೆ ಹಲವರಿಗೆ ನಡುಕ ಹುಟ್ಟಿಸುವ ವಿಷಯ. ಆದರೆ ನನಗಂತೂ ಗಣಿತ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಚ್ಚುಮೆಚ್ಚು. ನಾವು ಚಿಕ್ಕವರಿದ್ದಾಗ ಮಗ್ಗಿಯನ್ನು ಯಾರು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತಾರೋ ಅವರು ಬುದ್ಧಿವಂತರು ಎಂಬ ನಿರ್ಣಯಕ್ಕೆ ನಾವು ಬರುತ್ತಿದ್ದೆವೋ ಅಥವಾ ದೊಡ್ಡವರು ಇದು ನಮ್ಮ ತಲೆಗೆ ತೂರಿಸಿದ ವಿಷಯವೋ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲ. ಮಗ್ಗಿಯನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಕಲಿತ ನಾವು, ನಾವೇ ದೊಡ್ಡವರು ಎಂದು ಬೀಗುತ್ತಿದ್ದೆವು. ಆ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಗಣಿತವನ್ನ ಕಲೀಲಿಕ್ಕೆ ಇದೇ ನನ್ನನ್ನ ಪ್ರೋತ್ಸಾಹಿಸಿದ್ದು. ಆದರೆ ಇಂದು ನನ್ನ ನಂಬಿಕೆ ಬದಲಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಕ್ಕೂ ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಗೂ ಸಂಬಂಧ ಕಲ್ಪಿಸುವ ಅವಶ್ಯಕತೆ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಅನಿಸುತ್ತದೆ. ನನಗೆ ಚಿಕ್ಕಂದಿನಲ್ಲಿ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಭಾಗಾಕಾರ, ಗುಣಾಕಾರ ಕಲಿತಾಗ ಹರುಷವೋ ಹರುಷ. ಮನೆಯಲ್ಲಿ 'ನನಗೊಂದು ಲೆಕ್ಕಕೊಡಿ' ಎಂದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಲೆ ತಿನ್ನುತ್ತಿದ್ದೆ. ಆಗೊಮ್ಮೆ ಲೆಕ್ಕದ ನಂಟೇ ಇಲ್ಲದ ನನ್ನಜ್ಜಿ ಅಡುಗೆ ಮನೆಯಿಂದ "ನಾನು ನಿನಗೊಂದು ಲೆಕ್ಕ ಕೊಡ್ತೀನಿ ಬಾ ಕಂದಾ" ಎಂದು ದೋಸೆ ಹಾಕುತ್ತಿದ್ದವಳು ಕರೆದಳು. ಲೆಕ್ಕದ ಬಗ್ಗೆ ಅಜ್ಜಿಗೇನು ಗೊತ್ತು ಎಂಬ ಉದಾಸೀನದಿಂದ ನಾನು ಹೋದೆ. ಅಜ್ಜಿ ಕೇಳಿದಳು "ದೋಸೆ ಕಲ್ಲಿನ ಮೇಲೆ ಏಳ್ದೋಸೆ, ಹಸೆಕಲ್ಲಿನ ಮೇಲೆ ಆರ್ದೋಸೆ ನೆಲೀನ ಮೇಲೆ ಹತ್ದೋಸೆ ಅವು ಇವೆಲ್ಲಾ ಸೇರಿ ಎಷ್ಟು ದೋಸೆ ಹೇಳೋ ಕಂದ!"ನಾನು ಇದ್ಯಾವ ಲೆಕ್ಕ, 23ದೋಸೆ (7+6+10=23) ಅಜ್ಜಿ ಎಂದು ಹೇಳಿದೆ. ಅಜ್ಜಿ ಥಟ್ಟನೆ ತಪ್ಪು ಎಂದಳು. ದೋಸೆ ಕಲ್ಲಿನ ಮೇಲೆ ಇದ್ದ ದೋಸೆಯೂ ಹಸೆಕಲ್ಲಿನ ಮೇಲೆ ಆರಿತು. ನಂತರ ಅದನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ನೆಲದ ಮೇಲೆ ಇಡಲಾಯಿತು. ಅಂದರೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ದೋಸೆ. ದೋಸೆ ಕಲ್ಲಿನ ಮೇಲಿಂದ ಹಸೆ ಕಲ್ಲಿಗೆ , ಹಸೆಕಲ್ಲಿನ ಮೇಲಿಂದ ನೆಲುವಿನ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಹೋಯಿತು. ಹೀಗೆ ಗಣಿತದ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿಯದವರು ಕೂಡ ಲೆಕ್ಕದ ಒಡಗೂಡಿ ಆಟವಾಡುತ್ತಾರೆ. ಅದೇ ಗಣಿತವನ್ನ ಅಭ್ಯಯಿಸಿದವರಾಗಿದ್ದರೆ ಇನ್ನು ಹೇಗೆಲ್ಲಾ ಅದರೊಟ್ಟಿಗೆ ಆಟವಾಡಬಹುದುದು? ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಗಿ ನಮ್ಮ ತರ್ಕಕ್ಕೆ ನಿಲುಕಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲದಂಥಹ ಆಟಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಟ್ಟಿಗೆ ಆಡಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ನಮ್ಮೆಲ್ಲರಿಗೂ ಹಾರ್ಡಿ ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದೇ ಇದೆ. ಆಸ್ಪತ್ರೆಯಲ್ಲಿದ್ದ ರಾಮಾನುಜರನ್ನು ಕಾಣಲು ಬಂದ ಹಾರ್ಡಿಯವರು ತಾವು ಬಂದ ವಾಹನದ ಸಂಖ್ಯೆ 1729. ಅದು ನನಗೆ ಅಷ್ಟು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವೆನಿಸಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ರಾಮಾನುಜನ್ನರಿಗೆ ಹೇಳಿದರು. ತಕ್ಷಣ ರಾಮಾನುಜನ್ನರು `ಇಲ್ಲ 1729 ಅದ್ಬುತ ಸಂಖ್ಯೆ. ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಘನಗಳ (cubes) ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿ ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಅತೀ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆ 1729 (smallest number which can be written as sum of two cubes in two different ways)’ ಎಂದು ಹೇಳಿ ಹಾರ್ಡಿಯನ್ನು ದಿಗ್ಭ್ಹ್ರಮೆಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ. ರಾಮನುಜನ್ನರು ಹೇಳಿದ್ದನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಾದರೆ, ಕೆಳಗಿನದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

\(1729=1^3+12^3=10^3+9^3\)

1729ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಘನಗಳ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿ ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇತಿಹಾಸದ ಪುಟದಲ್ಲಿ 1729 ಹಾರ್ಡಿ-ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದೇ ದಾಖಲಾಗಿದೆ

ಮುಂದೆ ನಾನು ಗಣಿತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಭ್ಯಯಿಸಲು ಆರಂಭಿಸಿದಾಗ ನನ್ನ ಅಭಿಪ್ರಾಯ ಸ್ವಲ್ಪವಾದರೂ ಬದಲಾದಂತೆ ತೋರುತ್ತಿದೆ. ಗಣಿತ ಕೇವಲ ಈ ರೀತಿಯ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನಷ್ಟೇ ಮಾಡುವುದಲ್ಲ. ಬದಲಾಗಿ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾದ ವಾದವನ್ನ ಮಂಡಿಸುವ ಕಲೆಯೇ ಗಣಿತ. ನಾನು ಹೀಗೆ ಹೇಳಿದರೆ ಇದು ಅತಿಶಯೋಕ್ತಿ ಎಂದೆನಿಸದು - ಗಣಿತ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಶಿಖರದ ತುತ್ತ ತುದಿಯೆಂದು. ಗಣಿತಜ್ಞನಿಗೆ ಸತ್ಯವನ್ನ ಹುಡುಕುವುದು ಹಾಗೂ ಅದನ್ನ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಸಾಧಿಸುವುದೇ ಕಾಯಕ. ಅದರಲ್ಲೇ ಆತನಿಗೆ ಅದಮ್ಯ ತೃಪ್ತಿ. ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸೃಜಿಸುವಲ್ಲಿ ಗಣಿತಜ್ಞ ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಡನೆ ಆಟವಾಡಿರಬೇಕು. ಅವನ ಈ ರೀತಿಯ ಆಟದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಹೊಸ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮೂಡಿರಲೇಬೇಕು. ಹೀಗೆ ಮೂಡಿದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹೇಳಿಕೆಯೂ ಸತ್ಯವೇ ಅಲ್ಲವೇ ಎನ್ನುವುದನ್ನ ಸಾಧಿಸದೆಯೇ ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರಾಮನುಜನ್ನರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೇ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. 1729ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಘನಗಳ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿ ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಇಲ್ಲ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಯಾವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ರಾಮನುಜನ್ನರು ಹೇಳಿರಬಹುದು? ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹೇಳಿಕೆಯೂ ಸತ್ಯವೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದರೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತ ತಾರ್ಕಿಕ ಆಧಾರವಿರಲೇಬೇಕು.

ಆದರೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಹಲವು ಅತ್ಯಂತ ಸುಲಭವಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಗೆ ಇಂದಿನವರೆಗೂ ಪುರಾವೆಯೆ ಸಿಗದಿರುವುದು ಒಂದು ರೀತಿ ಅಚ್ಚರಿಯೇ. ಓದಿದರೆ ಬಹಳ ಸುಲಭವಾಗಿಯೇ ಅರ್ಥವಾಗಿಬಿಡುವ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸತ್ಯವೇ ಅಥವಾ ಸುಳ್ಳೆ ಎಂದು ಶತಮಾನಗಳೇ ಕಳೆದರೂ ಮನುಷ್ಯನಿಗೆ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಇನ್ನೂ ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಅಂಥಹಾ ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಗೆ (ಸತ್ಯವೋ ಅಥವಾ ಸುಳ್ಳೋ ಎಂದು ತಿಳಿಯದ ಹೇಳಿಕೆಗಳು) ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕಂಜೆಕ್ಚರ್ (conjecture) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇವು ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲದ ಗಣಿತಜ್ಞರ ಊಹೆಗಳು. ಆ ರೀತಿಯ ಊಹೆಗಳು ಹಲವಾರಿವೆ. ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದೆರೆಡನ್ನು ನಿಮ್ಮೊಡನೆ ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳಲು ಈ ಲೇಖನವು ಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ.

1. ಗೋಲ್ಡ್ ಬಾಕ್ ಊಹೆ (Goldbach Conjecture)

ಗ್ರಹಿಸಲು ಸುಲಭ, ಬಗೆಹರಿಸಲು ಕ್ಲಿಷ್ಟಕರವಾದ ಗಣಿತದ ಊಹೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗೋಲ್ಡ್ ಬಾಕ್ ನ ವಿಭಾಗೀಯ ಊಹೆ. 1742ರಲ್ಲಿ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಕ್ರಿಶ್ಚಿಯನ್ ಗೋಲ್ಡ್ ಬಾಕ್ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸ್ವಿಸ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಲಿಯೋನ್ಹಾರ್ಡ್ ಆಯ್ಲರ್ಗೆ ಪತ್ರವೊಂದನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತಾನೆ. ಆ ಪತ್ರದಿಂದ ಗೋಲ್ಡ್ ಬಾಕ್ ಊಹೆಯು ಪ್ರಚಲಿತಕ್ಕೆ ಬಂದಿತು. ಗೋಲ್ಡ್ ಬ್ಯಾಕ್ ನ ಊಹೆ (ಇದನ್ನು ಪ್ರಬಲ ಊಹೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು) ಹೀಗಿದೆ:

ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವ ಪ್ರತಿ ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯು (Even number) 2 ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ (Prime Numbers) ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ

(Any Even number greater than 2 can be expressed as sum of two prime numbers)

Note: ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕೇವಲ ತನ್ನಿಂದ ಮತ್ತು 1 ರಿಂದಷ್ಟೇ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಭಾಗವಾಗುತ್ತದೆಯೋ, ಅದನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ (Prime number) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 3 ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ. ಆದರೆ 6 ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ (ಏಕೆಂದರೆ 1 ಮತ್ತು 6 ನ್ನ ಹೊರತು ಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದಲೂ 6 ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾ: 3 ರಿಂದ 6 ಭಾಗವಾಗುತ್ತದೆ)

ಗೋಲ್ಡ್ ಬಾಕ್ ನ ಊಹೆಗೆ ಉದಾಹರಣೆ: 8 ನ್ನು 5+3 ಎಂದು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಅದೇ ರೀತಿ, 22 = 19+3.

ಆಯ್ಲರ್ ಮತ್ತು ಗೋಲ್ಡ್ ಬಾಕ್

ಆಯ್ಲರ್ ಹೇಳಿದಂತೆ "ನಾನು ಇದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮೇಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇನೆ. ಆದರೆ ನಾನು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ". ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗಳು ಕೆಲವು ಪ್ರಮಾಣದವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದೆ. ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಈ ಊಹೆಯು \(48×10^8\)ಕ್ಕಿಂತ (ಅಂದರೆ 48ರ ಮುಂದೆ 8 ಸೊನ್ನೆ) ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ (Natural numbers) ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅನಂತ (ಕೊನೆಯಿಲ್ಲದ್ದು). ನಮಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಈ ಊಹೆ ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಪುರಾವೆ ಬೇಕು. ಆದರೆ ಈ ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೂ ಮನುಷ್ಯನ ಕೈಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಹಾಗೆಯೇ ಇದಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾದ ಇನ್ನೊಂದು ಊಹೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ಗೋಲ್ಡ್ ಬಾಕನೇ ನೀಡುತ್ತಾನೆ. ಅದನ್ನು ದುರ್ಬಲ ಊಹೆಯೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗೋಲ್ಡ್ ಬಾಕನ ದುರ್ಬಲ ಊಹೆ ಅಥವಾ ಗೋಲ್ಡ್ ಬಾಕನ ತ್ರಿಕರಾವಿಭಾಜ್ಯ ಊಹೆ

ಗೋಲ್ಡ್ ಬಾಕನು ಮೇಲಿನದ್ದಕ್ಕಿಂತ (ಪ್ರಬಲ ಊಹೆಗಿಂತ) ದುರ್ಬಲವಾದೊಂದು ಊಹೆಯನ್ನು 18ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲೇ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದನು. ಗೋಲ್ಡ್ ಬಾಕನ ತ್ರಿಕರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಊಹೆಯ ಹೇಳಿಕೆ ಏನೆಂದರೆ

5ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರತಿ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 3 ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು

(“Any odd number greater than 5 can be written as sum of three prime numbers”)

ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 11ನ್ನು 2+3+5 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಹಾಗೆಯೇ 21 = 3+5+13.

ಸವಾಲು: 47ನ್ನು ಮೂರು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿ ಹೇಗೆ ಬರೆಯುವಿರಿ? ಹಾಗೆಯೇ ಎಷ್ಟು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು? ಕಾಮೆಂಟ್ ಬಾಕ್ಸಿನಲ್ಲಿ ತಿಳಿಸಿ.

ಇದನ್ನು ಗೋಲ್ಡ್ ಬಾಕ್ ನ ದುರ್ಬಲ ಊಹೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲು ಕಾರಣವೂ ಉಂಟು. ಗೋಲ್ಡ್ ಬಾಕ್ ನ ಪ್ರಬಲ ಊಹೆ ನಿಜವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕರಾವಿಭಾಜ್ಯ ಊಹೆಯೂ ನಿಜವಾಗಬೇಕು. ಹೇಗೆ? ಬಹಳ ಸುಲಭ. ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ. 1023 ಒಂದು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲವೆ? ಈಗ ಗಮನಿಸಿ

\(1023 = 3 + 1020\).

ಗೋಲ್ಡ್ ಬಾಕ್ ನ ಪ್ರಬಲ ಊಹೆ ನಿಜವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, 1020ನ್ನು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು \(p\) ಮತ್ತು \(q\) ಎಂದುಕೊಂಡಲ್ಲಿ, \(1020 = p + q\) (ಪ್ರಬಲ ಊಹೆಯ ಪ್ರಕಾರ). ಹಾಗಾಗಿ

\(1023 = 3 + p + q\),

ಮೂರು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ. ಅಂದರೆ ನೀಡಿರುವ ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ 3ಅನ್ನು ಕಳೆಯಲು ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಸಮಸಂಖ್ಯೆ ಗೆ ಪ್ರಬಲ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ ಸಾಕು.

ಆದರೆ ಇದುವರೆಗೂ, ಅಂದರೆ ಊಹೆಯ ಪ್ರಕಟವಾಗಿ 280ವರ್ಷಗಳು ಕಳೆದರೂ ಗೋಲ್ಡ್ ಬ್ಯಾಕ್ ನ ಪ್ರಬಲ ಊಹೆಗೆ ಇನ್ನೂ ಪುರಾವೆಯು ದೊರೆತಿಲ್ಲ. 2013ರಲ್ಲಿ Herald Helfgott, ಗೋಲ್ಡ್ ಬ್ಯಾಕ್ ನ ದುರ್ಬಲ ಊಹೆಯನ್ನು ಪುರಾವೆಯ ಮೂಲಕ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಆದರೆ ಪ್ರಬಲ ಊಹೆಗೆ ಪುರಾವೆಯಿನ್ನೂ ಇಲ್ಲ.

ಈಗ ಗೋಲ್ಡ್ ಬಾಕ್ ನ ಊಹೆಗೆ ಸಂಬಂಧಪಟ್ಟಂತೆ ಕೆಲವೊಂದು ಆಸಕ್ತಿಕರ ವಿಷಯಗಳನ್ನ ಗಮನಿಸೋಣ. ಇವುಗಳನ್ನ ನಾವು ಮಾಡಿಯೇ ನೋಡಬೇಕಾದ್ದರಿಂದ ಇವುಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗೆ ಆಟಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿದ್ದೇನೆ.

ಲೆಕ್ಕದ ಆಟಗಳು:

ಆಟ 1: ಗೋಲ್ಡ್ ಬಾಕ್ ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವೆಂಬಂತೆಯೇ ಇದೊಂದು ಆಟ. ಈಗ 15 ಎನ್ನುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಇದರ ಹಿಂದಿನ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತಾ ಹೋದಂತೆ ನಮಗೊಂದು ಅಚ್ಚರಿ ಕಂಡು ಬರುತ್ತದೆ. 15 ರ ಎರಡು ಹೆಜ್ಜೆ ಹಿಂದೆ ಹಾಗೂ ಎರಡು ಹೆಜ್ಜೆ ಮುಂದೆ ಎರಡೂ ಸಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆ (13 ಮತ್ತು 17). ಅಂದರೆ 15 ರ ಹಿಂದೆ ಮತ್ತು 15 ರ ಮುಂದೆ ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇವೆ. 15ರ ಬದಲು 30ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಅರ್ರೇ –ಮೂವತ್ತರ 7 ಹೆಜ್ಜೆ ಹಿಂದೆ ಹಾಗೂ 7 ಹೆಜ್ಜೆ ಮುಂದೆ ಎರಡೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೇ (23 ಮತ್ತು 37). ಅಂದರೆ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಹೀಗೆಯೆ? ಅಂದರೆ

“ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕಿನ (ಹಿಂದೆ ಮತ್ತು ಮುಂದೆ) ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಿಕ್ಕೇ ಸಿಗುತ್ತವೆಯೇ?”

55ಕ್ಕೆ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿದು ನೋಡಿ.

ಆಟ 2 : ಈ ಆಟದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೇಲಿನ ಆಟಕ್ಕೆ ಸಹಾಯಕವಾಗುವಂತೆ ಇನ್ನೊಂದು ಆಟವನ್ನು ಆಡುತ್ತೇವೆ. ಈಗ 17ಕ್ಕೆ ಮೇಲಿನ ಆಟದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆಯೇ ಎಂದು ನೋಡಬೇಕಿದೆ ಎಂದುಕೊಳ್ಳಿ. ಮೊದಲಿಗೆ 17ರ ಎರಡರಷ್ಟನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅಂದರೆ 34. ಈಗ 17ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು (ಅಂದರೆ 2, 3, 5, 7, 11, 13) 34ರಿಂದ ಒಂದೊಂದು ಬಾರಿಗೆ ಒಂದೊಂದರಂತೆ ಕಳೆಯುತ್ತಾ ಬನ್ನಿ.

ನಮಗೆ ಸಿಕ್ಕ ಪಟ್ಟಿ: \(32, 31, 29, 27, 23, 21\). ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 31 ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿರಿ ಎಂದುಕೊಳ್ಳಿ. \(31-17 = 14\) ಅಲ್ಲವೆ? ಈ ವಿಚಿತ್ರವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ: 17ರಿಂದ 14 ಹೆಜ್ಜೆ ಮುಂದೆ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಿದೆ (31). ಅದೇ ರೀತಿ 17ರಿಂದ 14 ಹೆಜ್ಜೆ ಹಿಂದೆಯೂ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ (3). ವಾಹ್! ಅದೇ ನಾನು 31 ರ ಬದಲಿಗೆ 29ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದಲ್ಲಿ? \(29-17 = 12\). ಅಂದರೆ 17ರಿಂದ 12 ಹೆಜ್ಜೆ ಮುಂದೆ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ (29), ಅದೇ ರೀತಿ 17ರಿಂದ 12 ಹೆಜ್ಜೆ ಹಿಂದೆಯೂ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ (5).

ಇದೇ ರೀತಿ ಮೇಲಿನ ಆಟದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ 55ಕ್ಕೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಿರೆ?

ಇಲ್ಲಿ ಒಂದಂಶವನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಮೇಲಿನ ಎರಡನೆಯ ಆಟವಾಡಲು ನಮಗೆ ಸಿಕ್ಕ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರಲೇಬೇಕಲ್ಲವೆ? ಅದೇ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉತ್ತರವಿರದ ಊಹೆ (Conjecture):

Conjecture:“\(n\) ಎನ್ನುವುದು ಯಾವುದೇ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದದ್ದು, \(p_1, p_2...,p_k\) ಎನ್ನುವವು \(n\) ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದೇ ಇರುತ್ತದೆ

\(2n-p_1, 2n-p_2,...,2n–p_k\).

Conjecture: If \(n\) is any natural number and \(p_1, p_2...,p_k \) are all prime numbers less than \(n\), then there exists a prime among the following numbers

\(2 n-p_1, 2n-p_2,...,2n–p_k\).

ಸವಾಲುಗಳು:
1. ಈ ಮೇಲಿನ ಊಹೆ ನಿಜವಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಗೋಲ್ಡ್ ಬಾಕ್ ನ ಪ್ರಬಲ ಊಹೆಯೂ ನಿಜವಾಗಿಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಹೇಗೆ?

2. ಗೋಲ್ಡ್ ಬಾಕ್ ನ ದುರ್ಬಲ ಊಹೆ (ತ್ರಿಕರಾವಿಭಾಜ್ಯ ಊಹೆ ) ನಿಜವೆಂದು ಅಂದುಕೊಂಡು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದೆ?

“7ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಯಾವುದೇ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು”

(ಉದಾ: \(9 = 2 + 2 + 2 + 3\))

(ಈ ಸವಾಲುಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರ ದೊರೆತಲ್ಲಿ dep.math.svc@gmail.com ಗೆ ನಿಮ್ಮಉತ್ತರವನ್ನು ಕಳುಹಿಸಿ)

Supporting words:

1. ಸಮಸಂಖ್ಯೆ – Even Number

2. ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ – Odd Number

3. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ – Prime Number

4. ಮೊತ್ತ – Sum

5. ಸಾಧನೆ – Proof

6. ಘನ – Cube

Acknowledgement: ಈ ಲೇಖನದ ಕೊನೆಯ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿರುವ ಆಟ 1 ನಮಗೆ ತಿಳಿದು ಬಂದದ್ದು Dr. D. S. Guru, DOS in Computer Science, University of Mysore ಅವರಿಂದ. ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಅವರಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳನ್ನು ತಿಳಿಸಲು ಇಚ್ಛಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮುಂದುವರೆಯುವುದು.. (ಮುಂದಿನ ಭಾಗದ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ Collatz ಊಹೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಲೇಖಕರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ).

---

ಲೇಖಕರ ಪರಿಚಯ

ಅಭಿಷೇಕ್ ಎಂ. ಎನ್. ಪ್ರಸ್ತುತ ಶಾರದಾ ವಿಲಾಸ ಕಾಲೇಜಿನಲ್ಲಿ 4ನೇ ಸೆಮೆಸ್ಟರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಸಾಂಗ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಅಭಿಷೇಕ್ ಅವರಿಗೆ ಮುಂದೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಉಪನ್ಯಾಸಕರಾಗಬೇಕೆಂಬ ಇಚ್ಛೆ ಇದೆ. ಕೇವಲ ಗಣಿತವಲ್ಲದೆ ಇವರಿಗೆ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲೂ ಅಭಿರುಚಿಯಿದ್ದು ಚರ್ಚಾ ಸ್ಪರ್ಧೆ, ಪ್ರಬಂಧ ಸ್ಪರ್ಧೆ ಹೀಗೆ ಸುಮಾರು ಸ್ಪರ್ಧೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುತ್ತಿರುತ್ತಾರೆ.

---

ನಮ್ಮ ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾದರೂ ತಪ್ಪು ಅಥವಾ ದೋಷ ಕಂಡುಬಂದಲ್ಲಿ dep.math.svc@gmail.com ಗೆ ತಿಳಿಸಿ (If you find any mistakes or errors, please send the same to dep.math.svc@gmail.com)